Vous pourrez lire dans l'introduction que je me plains de ne pas avoir reçu de démonstration convaincante de la part des lecteurs, ce n'est plus le cas, puisque M. Sam Cabannes a eu la gentillesse de me faire part de sa solution basée sur les probabilités. Cette solution s'avère beaucoup plus simple et élégante que la mienne qui, avec le recul, m'apparaît de plus en plus alambiquée, mais reste parfaitement valide. En fait cet article devient particulièrement intéressant, puisque vous y trouverez toutes les étapes de deux raisonnements totalement différents sur un même problème apportant la même solution (heureusement :)).

D'un point de vue pratique, j'ai laissé en l'état la première version de l'article et je n'ai fais qu'ajouter cet avant-propos et la solution de M. Cabannes en seconde partie.

La première fois que ce problème a été soulevé sur Onversity, c'était à la fin de mon article 'Comprendre son disque dur - 2'. Comme de nombreux lecteurs, je pensais intuitivement que la distance moyenne valait R/2 (R = rayon d'un plateau d'un disque dur). L'intuition est parfois prise à défaut, comme dans ce cas, car la réponse est R/3.

J'avais demandé à mes lecteurs de m'envoyer la démonstration, mais n'ayant reçu aucune réponse valide (formule et raisonnement), j'ai décidé de m'attaquer moi-même à ce problème et trouver le raisonnement et la formule qui expliqueraient ce R/3. Je dois reconnaître que j'ai mis un certain temps, mais l'honneur est sauf, et j'ai le plaisir de vous la présenter dans ces quelques lignes, car en fait elle est très courte et très simple. Simple, une fois que l'on sait exactement comment aborder le problème.

Remarques :

- La formule n'est valide que dans un cas idéal, à savoir qu'il ne faut considérer qu'une seule tête de lecture, sur une seule face d'un seul plateau du disque dur.

- Répartition uniforme : Dans la formule que je donne, on suppose que les données sont réparties de façon uniforme sur l'ensemble de la face du plateau, c'est-à-dire qu'à chaque position x la quantité d'informations est la même. Si cela était vrai avec d'anciens disques durs (avant 1992/1994) ça ne l'est plus aujourd'hui. La question d'une répartition non-uniforme se pose.

- Répartition non-uniforme : Jusqu'à présent, je n'ai pas réussi à déterminer une forme générale intégrant une répartition non-uniforme des données. Toutefois on peut conjecturer des effets de symétrie et/ou de compensation et le résultat pourrait être le même que dans une répartition uniforme, soit N/3. Par exemple, si la position de départ se trouve dans une zone de faible densité de données, on peut supposer qu'elle tendra à se déplacer plus vers une zone à forte densité. Ce qui implique un plus grand déplacement moyen que si les données étaient uniformément réparties. Et inversement, dans une zone à plus forte densité de données, à diminuer la distance moyenne de déplacement. Dans tous les cas, j'estime jusqu'à plus ample information, que N/3 est une bonne approximation. Si vous voulez vous pencher sur le problème allez-y. Mais si vous m'envoyez vos résultats, faites en sorte que votre raisonnement soit bien expliqué et corresponde bien aux calculs intermédiaires.

Le piège a consisté pour moi à vouloir résoudre le problème par les probabilités domaine je ne me suis jamais senti très agile. Or si on prend exactement l'intitulé de l'article, il s'agit de calculer une distance moyenne.

A partir de là, toutes mes difficultés ou presque ont été levées. Une distance moyenne c'est : somme(Ai * Bi) / C ou :

- B est la valeur de la distance.

- A est le nombre de distance d'une valeur B.

- C est le nombre total de distance.

Il va falloir faire quelques exercices de pensée, en plaçant et déplaçant les têtes de lecture. La valeur de B n'est pas à déterminer mais elle participera, avec A, à l'expression finale devant être intégrée.

Le nombre de positions que peut prendre une tête de lecture est N. On nommera x1 la position de départ et x2 la position d'arrivée. A présent, essayons de déterminer le nombre de distances égales à 1 tel que x2 - x1 = i = 1 (remarque : x2-x1 est une valeur absolue) positionnons la tête de lecture en x1 = 2. Dans ce cas, pour que la distance entre x1 et x2 soit égale à 1, il n'y a que deux possibilités, soit x2=1, soit x2=3.

Je rappelle que C est le nombre de distances totales. Calculons-le. Le nombre de positions de départ est N, et pour chaque position de départ il y a N positions d'arrivée. Soit C = N*N = N².

On suppose donc (ce qui n'est pas la réalité des HD) que les positions initiales et finales sont équiréparties sur le rayon du disque (qu'on peut supposer égal à un pour simplifier) et indépendantes.

Soit x la position initiale. La position finale sera dans l'intervalle [0,x] avec la probabilité x et dans l'intervalle [x, 1] avec la probabilité (1-x), et suivra la loi équirépartie sur [0, x] dans le premier cas et sur [x, 1] dans le second.

Le parcours moyen sera de x/2 dans le premier cas et de (1-x)/2 dans le second.

Il n'y a plus qu'à intégrer par rapport à x avec la densité uniforme sur [0, 1]. Intégrale de 0 à 1 de x fois x/2 plus (1-x) fois (1-x)/2.

Ce qui après simplification nous donne :

La primitive de l'expression sous le signe de l'intégrale est :

Le calcul final donne :

On trouve 1/3, ou R/3 si le rayon est R.