Afin de vous mettre rapidement dans le bain, je vais vous raconter une anecdote. Ensuite je passerais aux explications et à un exemple. J'étais en TD d'analyse numérique en fac (ça remonte donc à pas mal d'années ;)), et le prof nous demande d'estimer rapidement avec nos calculettes l'ordre de convergence d'une méthode d'approximation d'une valeur d'une fonction. On est quelques uns à proposer une valeur et manque de bol pour moi, ce n'est pas la mienne qui est retenue. Un peu vexé, je fais remarquer au prof que la différence est très faible. Il s'agissait de 1.14 contre 1.16 enfin dans cet ordre de grandeur. Et là le prof me sort une phrase que je n'ai jamais oublié, ç'a été une leçon. Jean-François, une petite variation dans une fonction exponentielle peut amener à une variation importante, et ce d'autant plus que le nombre d'itérations est grand. Evidemment ce n'est pas la phrase exacte, mais c'est l'idée générale de ce qu'il m'a dit que j'ai conservé en mémoire. Toujours est-il que je suis resté cloué sur place, car l'évidence de son affirmation était imparable. J'en étais d'autant plus frappé que je travaillais à l'époque sur une méthode concurrente à la méthode de Newton, mais c'est une autre histoire.

Exemple 1 : Multiplication de Karastuba
Je vous le concède tout de suite, ce n'est pas l'exemple le plus simple que je prends, mais j'ai une excuse il est hautement intéressant :). Ce dont on va s'occuper ici, c'est du nombre d'opérations à faire (addition, soustraction, multiplication), pour effectuer une multiplication de grands nombres comme on dit en informatique, ou de nombres composés par un nombre 'n' de chiffres comme on dirait en mathématique.

Dans une multiplication traditionnelle, le nombre d'opérations à faire suit une progression au carré (on dit aussi quadratique) en fonction du nombre de chiffres qui composent les nombres multipliés. Par exemple si on multiplie 13 * 43, on doit faire 4 multiplications. Par contre si on multiplie 123 * 645, on doit faire 9 multiplications. Le nombre de multiplications suit la loi : n², où n est le nombre de chiffres qui composent chaque nombre. Evidemment j'ai simplifié l'explication en ne prenant en compte que les multiplications (pas les additions) et des nombres qui ont le même nombre de chiffres, mais c'est l'idée du propos que j'essaie de transmettre pour l'instant pas la méthode elle-même.

Dans le cas de la multiplication de Karastuba, le nombre total d'opérations à faire suit la loi : n^Log(3), soit approximativement n^1,585. x = 1,585 est l'ordre de complexité de la méthode de Karastuba.Imaginons à présent une méthode qui a un ordre très proche de 2%, tel y = 1,553. Si on prend un nombre de 1000 chiffres on obtient le résultat suivant :

Karastuba : nombre d'opérations : 1000^1,585 = 56885

Autre méthode : nombre d'opérations : 1000^1,553 = 45603

On constate donc qu'en faisant varier de 2% l'ordre de la méthode, on obtient une variation de plus de 19% dans le nombre d'opérations ! Mieux, dans ce type de fonction exponentielle, la différence n'est pas constante mais croît avec la valeur initiale, c'est-à-dire que si on avait pris un nombre de 100000 chiffres la variation aurait été de plus de 38% !

Exemple 2 : La loi de Moore
J'ai lu il y a quelques semaines sur le net un cours d'informatique qui en parlait. Se basant sur l'ancienne définition d'Intel : le nombre de transistors double tous les 18 mois (oui je sais ce n'est pas la loi de Moore telle que Moore l'a définie, mais c'est celle d'Intel). La nouvelle loi, c'est double tous les 24 mois. Donc le prof fait son petit calcul et montre comment utiliser la loi. Evidemment il se rend compte de l'écart important du nombre de transistors entre 1971 et l'année 2000 et explique la chose de la manière suivante et c'est là où ça devient intéressant.

Il détermine quel devrait être le coefficient pour que la loi de Moore soit respectée et il trouve que le coefficient est 1.91 (au lieu de 2). Il conclut ainsi. La différence entre un facteur 2 et 1,91 étant faible (inférieure à 5%), on peut estimer que la loi de Moore est bien corollée.

Avec ce que nous avons vu depuis le début de l'article vous devriez à présent voir l'erreur de jugement de ce prof. Dans le cadre d'une fonction exponentielle une peite variation dans le coefficient peut engendrer des erreurs qui n'ont aucun rapport avec le résultat final. Dans le cadre de la loi de Moore, comme il s'agit d'une méthode itérative, plus il y aura d'itérations c'est-à-dire que la période sera grande, plus la différence sera catastrophique.

Conclusion
Dans le cadre d'une fonction à croissance ou décroissance exponentielle, penser que la variation même minime d'un coefficent ne produira pas de variation importante est un piège. J'ai déjà eu l'occasion à plusieurs reprises de voir des raisonnements erronés faisant intervenir des fonctions exponentielles, mais aussi logarithmiques et je me suis toujours demandé d'où pouvait provenir ces erreurs ? Je crois que généralement on a tendance à voir une progression comme quelque chose de linéaire et dans ce cas effectivement une variation de x% d'une valeur n entrainerait une variation de f(n) de x% aussi avec f(n) = a*n. Maintenant que celui qui n'est jamais tombé dans le panneau lève la patte ... ;).

Un certain nombre de comparatifs ont été faits opposant la famille des microprocesseurs mobiles Dothan à celle des microprocesseurs de bureau de type Athlon XP, 64 et Pentium 4 Northwood, Prescott. En soi, l'initiative de tels tests est intéressante, malheureusement je trouve d'une part que ces tests étaient prématurés, d'autre part que leur méthodologie avait une approche trop classique pour pouvoir se faire une bonne idée des différences entre ces microprocesseurs. Je sais qu'il est actuellement de bon ton de penser que le Dothan ferait un excellent microprocesseur de bureau. L'objectif de ce mini-article n'est pas d'aller à l'encontre de cette idée, mais de présenter une argumentation qui suggère que ce n'est pas avec les comparatifs actuels qu'on peut décider si oui ou non le Dothan permettrait de faire un excellent microprocesseur de bureau.

Des tests prématurés
Pourquoi prématurés ? Le Dothan repose sur la technologie de fabrication en 90 nanomètre (nm) d'Intel. Le comparer à un Pentium 4 Northwood est intéressant sur le moment, mais dans l'absolu, pour voir ce que valent leurs architectures respectives, c'est un peu comme comparer des pommes et des canards sauvages ;). Il faudrait le comparer à un Prescott, oui mais voilà Intel a loupé son calendrier avec le successeur du Northwood. Le Prescott a des performances et une montée en fréquence discutables. Le fer de lance des Pentium 4 en 90 nm aurait du être le Tedjas, hélas il ne verra pas le jour. Par contre on sait aujourd'hui que le Prescott sera équipé de 2 Mo de mémoire cache L2 dans sa version grand public et montera à 3,8 GHz à partir du premier trimestre 2005.

C'est cette comparaison qu'il aurait fallu attendre. La meilleure technologie Pentium 4 en 90 nm qu'Intel peut fournir et la meilleure technologie Pentium M Dothan en 90 nm qu'Intel peut fournir. Il faut bien se rendre compte que le Dothan 2 GHz en 90 nm et avec ses 2 Mo de cache L2 est un microprocesseur mature, ce qui n'est pas le cas encore du Prescott. La raison est simplement due à des aspects de calendrier de sortie des microprocesseurs. Bien sûr je comprends l'enthousiasme que peut générer la volonté de faire des comparaisons rapidement, mais il aurait au moins fallu pondérer sérieusement les conclusions de ces premiers tests.

Difficultés de comparaison d'architectures différentes à cibles différentes
En faisant une comparaison directe et sans anesthésie entre Dothan, Athlon 64, Pentium 4, ... on a omis de rappeler que l'architecture d'un microprocesseur varie aussi en fonction de l'objectif dans lequel il est conçu. Ainsi il aurait été et il serait bon pour les prochains comparatifs de se demander si Intel n'a pas du faire un certain nombre de limitations sur les Dothan pour arriver à une si basse consommation ? Pour pouvoir déterminer un tel élément, il faut non seulement faire des tests classiques comme ça été le cas, mais aussi des tests unité par unité de calcul, ALU, FPU, SSE / SSE2. Or cela n'a pas été fait sauf par le site Aceshardware. Ils ont utilisé une application qui teste les performances de calculs et ce sans que le cache influe ou si peu que cela n'est pas représentatif. Ce qui est interessant dans ce test c'est la méthodologie. Pour les résultats, je vous laisse le soin de faire vos propres déductions.

Dans ce test il apparaît clairement que le Banias n'est pas à la fête. Et dans la mesure ou le Dothan hérite quasiment de la même architecture que le Banias on peut raisonnablement penser (bien que cela implique des comparaisons complémentaires pour être validé) que le Dothan ne soit pas bon partout. Ce microprocesseur excelle en instructions ALU et son gros cache L2 rapide lui assure une réactivité exemplaire. C'est un microprocesseur qui excelle dans les applications bureautiques, mais pas nécessairement dans les applications de calculs. Certains vont me dire, mais si ...En fait il semble qu'actuellement le Dothan compense dans certains tests de calculs lourds son déficit apparant en puissance de calcul par des caches importants et très rapides, mais qu'en sera-t-il face à des microprocesseurs disposant de la même taille de cache ?

Conclusion
Mon but ici n'est pas de donner mon avis sur le Dothan mais d'apporter des éléments pour vous montrer que les tests actuels sont insuffisants pour tirer des conclusions. Quoiqu'en disant cela c'est déjà avoir une position et je l'assume, car c'est aussi le rôle d'Onversity de présenter un autre regard sur les choses et un regard constructif. Je propose donc que les prochains tests se fassent avec des Dothan de la fréquence la plus haute commercialement disponible contre les Prescott équipés de 2 Mo de cache L2 qui arriveront au premier trimestre 2005 avec leur fréquence de 3,8 GHz. Pour les applications, qu'on utilise d'une part des applications pouvant faire la part des performances entre unité de calcul et mémoire cache, des applications généralistes mais réelles et des applications plus synthétiques mais récentes pour prendre en compte l'architecture particulière du Pentium 4. Cette dernière remarque est plus importante qu'il n'y paraît. Le Dothan étant en grande partie basé sur le défunt Pentium 3 (partageant tout deux l'architecture dite P6) faire des tests avec des applications qui ont été conçues et optimisées avant l'arrivée du Pentium 4 c'est donner un avantage potentiel au Dothan. L'exemple plus classique concerne SuperPI, un programme de calcul du nombre PI conçu en 1995 et optimisé à la main pour le calcul FPU des Pentium I. L'excellent site X86-Secret le reconnait lui-même dans son dernier article sur le Pentium M. Je cite :

L'architecture Netburst n'a cependant jamais brillé sur ce type de vieux benchmark (Pcmark99) et c'est assez compréhensible puisqu'ils n'étaient pas optimisés pour les architectures récentes. Dans le même genre, on trouve l'antique SuperPi, qui, bien qu'il ne représente plus grand chose à l'heure actuelle, est encore utilisé comme test

Performances : P6 Vs World

Il faut aussi rappeler quelques éléments parfois oubliés. Le Prescott dispose en plus du Dothan, des instructions SSE3 (utilisées surtout pour certaines applications multimédias, utile mais pas primordial), des instructions 64 bits (bien que non encore activées elles sont bien présentes), de l'hyperthreading (très intéressant pour des programmes exploitant les calculs multi-thread). En fait ces 3 options vont prendre beaucoup d'importance à partir de 2005, ce qui fait du Prescott un investissement intéressant. Bien sûr le Dothan pourrait en disposer aussi si Intel l'avait voulu, et ça sera peut-être le cas pour son successeur, mais ce ne l'est pas encore. Or de telles fonctionnalités impliquent une hausse non négligeable, mais pas non plus faramineuse (quelques millions ?), du nombre de transistors, de la complexité de l'architecture et la consommation électrique (et donc de la puissance dégagée). Par contre le Dothan ne dispose pas d'un FSB très élevé, ce qui le pénalise. Toutefois le FSB n'est qu'un élément (certes important) participant à une donnée plus générale à savoir la bande passante. Mais vu la taille de son cache L2, certaines applications ne varieront pas ou très peu par un changement même important de la bande passante. Mais c'est au testeur de structurer leur comparatif pour déterminer clairement dans quelle mesure l'application est dépendante de la bande passante et ce pour tout les microprocesseurs du comparatif de manière à pouvoir avoir des conclusions claires. Il est à noter qu'Anandtech a une démarche intéressante dans son comparatif. Ils ont désactivé le bi-canal des Athlon 64 et des Pentium 4.

Pour finir, je sais que certains d'entre vous estiment que si on avait conçu le Dothan pour qu'il soit un microprocesseur pour ordinateur de bureau, on pourrait augmenter sa tension commerciale et le pousser bien pus haut en fréquence. C'est un problème intéressant mais qui participe à un tout. L'objectif de ce mini-article était d'attirer votre attention sur le fait que les comparatifs actuels sont insuffisants pour se faire une idée claire des possibilités du Dothan et en même temps vous donnerdes éléments de réflexion pour les prochains comparatifs Dothan contre Prescott. Il faut du moins l'espérer car en ce qui me concerne je reste assez insatisfait du traitement qui a été fait sur ce type de comparaison. N'hésitez pas à intervenir ni même à suggérer des compléments de protocole de test car certains Webmasters lisent régulièrement Onversity et pourraient en tirer parti :).

Séance photos
Comme on peut le voir sur la photo ci-dessous, le Dothan a un petit core, mais si en plus on supprime son cache L2 comme le montre la seconde photo, alors le Dothan a un vraiment très petit core.

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Je vous ai dégoté deux livres qui feront référence pour vous dans leur domaine respectif. Le premier est une introduction extrêmement bien faite et complète aux particules élémentaires, le second est un formidable dictionnaire des mathématiques.

Introduction aux particules élémentaires
Soyons clair, les particules élémentaires sont un zoo, dans lequel il est souvent difficile de s'y retrouver. Ce livre vous énumèrera les différentes particules en expliquant clairement les familles auxquelles elles appartiennent et les relations entre les particules et les familles ainsi que 'leur mode de vie'. A cela s'ajoutent des explications sur les anti-particules, la théorie CPT, les violations de symétrie, le rayonnement synchrotron, la section efficace, le bremsstralung, la diffusion, etc ...

Dictionnaire des mathématiques
Si vous vous imaginez qu'un dictionnaire est une justaposition de définitions, c'est que vous n'êtes jamais tombé sur un vrai dictionnaire. Un vrai dictionnaire est un dictionnaire à ce point pratique, vivant qu'il devient presque un cours en lui-même. C'est un objet précieux et un ami indispensable. Nous disposons déjà dans notre bibliothèque d'un tel dictionnaire en physique, il manquait celui de mathématique, c'est chose faite.

Quadrature n°53 - Juillet-Septembre 2004. Voici la première présentation du magazine de mathématique Quadrature. Ce magazine étant difficile à trouver je donnerais à chaque fois les coordonnées de l'éditeur afin que vous puissiez vous le procurer.

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Ce trimestre dans Quadrature, on peut noter les articles intéressants suivants :

• Equations fonctionnelles : Mr Vidiami présente dans cet article un ensemble de méthodes de résolution très pratiques pour les équations fonctionnelles, surtout pour ceux qui auront ce type de problèmes à résoudre durant leurs examens. A propos une équation fonctionnelle est une équation dont l'inconnue est une fonction ce qui inclue les intégrales, les équations différentielles, aux différences finies.

• Sur le quadrilatère inscriptible : L'article fait par un jeune auteur (lycéen de son état) se propose de présenter différents résultats tournant autour du problème du quadrilatère inscriptible dans un cercle, et de leur démonstration. On passe ainsi en revue, l'égalité de Ptolémée, le théorème d'Al-Kashi, la formule de Brahmagupta, et Galois (sans la théorie des groupes :)).

• Notes de lecture : Elle concerne la réédition des travaux de Jean Le Rond d'Alembert sur le problème des trois corps. C'est un problème de mécanique céleste très connu, qui consiste en fait à l'établissement d'un système d'équations différentielles décrivant l'attraction mutuelle de 3 corps.

Editeur : EDP Sciences SA

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